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COME CALCOLARE ELEMENTI CAPACITIVI E INDUTTIVI
DI GRANDI DIMENSIONI


La nostra attività di radioamatori prevede anche l'autocostruzione, soprattutto di antenne, in alcuni casi aventi forme particolari, che prevedono la realizzazione di elementi capacitivi e induttivi di dimensioni notevoli; ho ritenuto opportuno, per chi fosse interessato, riassumere le considerazioni e la serie dei calcoli che ho dovuto effettuare per realizzare tali elementi usati nelle mie antenne. Le espressioni utilizzate nei calcoli sono quelle classiche, integrate da alcune scritte in base alla mia esperienza in materia.
Per una maggiore comodità di calcolo, tutte le dimensioni sono espresse in centimetri, le capacità in pF e le induttanze in µH; di conseguenza la e0 e la µ0 sono date in pF/cm e in µH/cm.

PARTE PRIMA - CALCOLO DELLA CAPACITÀ

Ecco l'elenco dei principali simboli adottati:

π = 3.1415927
C,Cs = capacità in pF
e0 = costante dielettrica assoluta 8.854 10-2 pF/cm
er = costante dielettrica relativa (polietilene = 2.3, carta = 3.5, resina = 4¸5, porcellana = 4¸7, bakelite = 5.5, mica = 6.5)
S = superficie di un'armatura
n = numero delle armature
s = distanza tra le armature
d = diametro della sfera - del disco - del cilindro
r = raggio della sfera - del disco - del cilindro
l = lunghezza
h = altezza di un'armatura rispetto ad un piano conduttore (suolo)

Iniziamo con la formula generale per il calcolo della capacità di un condensatore:

(1)   C =  e0 er S  (n−1)
          s          

Questa espressione, per ottenere risultati validi, deve essere applicata a condensatori in cui la distanza tra le armature sia molto piccola in paragone alla loro superficie, altrimenti si commette un errore per aver trascurato la capacità delle armature esterne rispetto allo spazio; tale errore in alcuni casi può essere notevole.

Per approfondire l'argomento partiamo da un condensatore di forma particolare, più teorico che pratico, che aggira il problema. Si tratta del "condensatore sferico", composto da due sfere conduttrici concentriche di cui quella interna si può immaginare connessa al circuito mediante un sottilissimo filo che passa attraverso un piccolo foro praticato nella sfera esterna; appare intuitivo infatti che, applicando alla sfera interna una differenza di potenziale rispetto alla sfera esterna che manterremo a potenziale 0, tutto il campo elettrico resti confinato nello spazio compreso tra le due sfere e, data la geometria, sia distribuito in modo uniforme in ogni direzione. Pur non trattandosi di un condensatore normale risulta possibile applicare la (1) che in questo caso non dà errore non essendovi campo disperso, solo che, data la particolare conformazione del campo elettrico e la differenza di superficie tra le due armature, S deve essere calcolata come media geometrica tra le due, mentre s rappresenta la differenza tra i loro raggi; se lo spazio tra le sfere si intende costituito dall'aria o dal vuoto, si potrà pertanto riscrivere la (1) nella seguente forma:

(2)   C =  e0 4 π re ri
      re − ri      
   dove     re = raggio della sfera esterna    ri = raggio della sfera interna

essendo appunto 4 π re ri = superficie sferica, media geometrica tra le superfici delle due armature. Man mano che il rapporto tra i raggi delle due sfere cresce, la capacità di questo condensatore tende a variare sempre meno fino a stabilizzarsi su di un valore proporzionale soltanto al raggio della sfera interna. Questa caratteristica appare chiara riscrivendo l'espressione come segue:

(2 bis)   C =  e0 4 π ri
      1 − r'      
   dove    r' = ri
re

Immaginando che la sfera esterna sia di raggio infinito, il che equivale ad avere una sfera unica, isolata nello spazio, essendo re = e ponendo r = ri si ottiene dalla (2 bis) sviluppando:

(3)   Cs =  e0 4 π r  = 1.112 r

L'espressione (3) dimostra che un corpo conduttore isolato nello spazio (in questo caso una sfera) ha comunque una propria capacità Cs che risulta semplicemente proporzionale al raggio. Nel caso si tratti di un disco o di un cilindro di altezza uguale al raggio, vengono dati normalmente i seguenti valori: per il disco Cs = 0.7 r, per il cilindro Cs = 1.6 r. Partendo dalla (3) e tenendo conto della diversa conformazione della superficie, si possono scrivere le due espressioni che seguono e che danno praticamente gli stessi risultati; per il disco si ha:

(4)   Cs =  e0 4 π r (2
π
) = 0.708 r

e per il cilindro:

(5)   Cs = e0 4 π r ( 2  
 π 
+  2  
 π 
) = 1.596 r

La (4) risulta valida anche per superfici poligonali, con approssimazione crescente con il numero dei lati, ponendo r = (S / π). Le capacità calcolate con le espressioni appena viste si mantengono abbastanza simili anche se la superfice interessata è reticolare, purché le maglie della rete abbiano dimensioni molto piccole rispetto alla lunghezza d'onda.
Da quanto precede, risulta chiaro che un condensatore di forma normale con due armature uguali, isolato nello spazio, ha una sua capacità, calcolabile con la (4), nei confronti dello spazio circostante che, se la distanza tra le armature è grande in confronto alla loro superficie, è pari a Cs/2, oltre, naturalmente, alla capacità C, calcolabile con la (1), esistente tra le due armature. È evidente che solo quando la distanza tra le armature è piccola in rapporto alla loro superficie e quindi la capacità C è molto grande in rapporto al valore che assume la Cs si può ritenere valida la (1), in tal caso infatti si potrà ritenere il campo elettrico praticamente tutto concentrato tra le armature. Nel caso opposto, quando le armature sono molto distanti tra loro in paragone alla loro superficie, la C diviene molto piccola mentre la capacità nei confronti dello spazio circostante, dipendendo, come abbiamo visto, solo dalla dimensione e dalla forma delle armature, rimane praticamente costante e pari a Cs/2. Nei casi intermedi, quando la C e la Cs hanno valori paragonabili, diviene complicato calcolare esattamente la capacità del condensatore, in quanto occorre fare un'accurata analisi del campo elettrico che si instaura intorno alle armature. Per ottenere comunque una certa approssimazione si può scrivere l'espressione empirica mostrata sotto, che dà un valore di capacità molto vicino a quello reale, quale che sia il rapporto tra la distanza e la dimensione delle armature:

(6)   C =  e0S
π
[er π S
π
 + s(2 + 2
r'
)]1
s
   dove     r' = 1 + (S
π
) 1
s

Ritornando un passo indietro, può essere utile considerare il caso di due sfere uguali, poste nello spazio ad una certa distanza tra loro; in tal caso la capacità di un condensatore così fatto potrà essere valutata con la seguente espressione approssimata, essendo s = distanza tra i centri delle sfere:

2 π e0 s rs
(7)   C =  
   dove     r' =  
(s − r')s
d
 + [(s
d
)2− 1]

Nel caso di una sola sfera posta ad una certa distanza da un piano conduttore (suolo), si avrà evidentemente, essendo h = altezza del centro della sfera dal piano conduttore:

4 π e0 2 h r2 h
(8)   C =  
   dove      r' =  
   come sopra ponendo s = 2 h
(2 h − r')2 h
 d 
 + [(2 h
 d 
)2− 1]

Il caso di due dischi paralleli è giÓ stato risolto con la (6); nel caso di un disco posto ad una certa distanza da un piano conduttore (suolo), il valore fornito dalla (6) andrà semplicemente raddoppiato, avendo cura di porre s = 2 h. Per quanto riguarda i cilindri, sempre aventi altezza uguale al raggio, disposti in asse, con le basi parallele tra loro, ponendo s = distanza tra le basi affacciate, si potrà approssimare così:

(9)   C =  e0 r[er π r + s(7 + 2
r'
)1
s
   dove    r' = 1 + r
s

Per un solo cilindro disposto con la base parallela ad un piano conduttore (suolo), basterà, al solito, raddoppiare il risultato della (9), dopo aver posto s = 2 h essendo in questo caso h = altezza dal suolo della base inferiore.

PARTE SECONDA - CALCOLO DELL'INDUTTANZA

Si prendono in considerazione solo bobine ad uno strato, senza nucleo magnetico, nelle forme: cilindrica, spirale piatta e toroide. Le misure sono tutte in centimetri, le capacitÓ in pF, le induttanze in µH e la frequenza in MHz.
Ecco l'elenco dei principali simboli adottati:

π = 3.1415927
C,Cp = capacitÓ in pF
L,La,Lc,Lo = induttanza in µH
e0 = costante dielettrica assoluta 8.854 10-2 pF/cm
µ0 = permeabilitÓ assoluta 4 π 10-3 µH/cm
µr = permeabilitÓ relativa
rs = resistivitÓ (rame = 1.8 10-6, allum.=2.9 10-6 ohm cm3)
D = diametro della bobina
R = raggio della bobina
d = diametro del conduttore
rc = raggio del conduttore
N = numero delle spire
p = passo di avvolgimento
pe = passo di avvolg. esterno del toroide
pi = passo di avvolg. interno del toroide
l = lunghezza
cosh-1 = area del coseno iperbolico, cosh-1 (x) = ln (x ▒ (x2 - 1) )
f = frequenza in MHz

Iniziamo con la nota espressione proposta da H.A.Wheeler (Wheeler 1928, p. 1399) per il calcolo delle bobine cilindriche ad uno strato, riportata qui sotto:

(1)   L =  R2 N2
  9 R + 10 l  

Questa espressione, che accetta solo dimensioni in pollici, per la sua praticitÓ, viene usata correntemente per il calcolo delle bobine cilindriche ad uno strato senza nucleo magnetico. Trattandosi di una espressione empirica presenta alcuni limiti, la sua precisione è infatti accettabile se la lunghezza della bobina risulta superiore ad un terzo del suo diametro, e se il passo di avvolgimento è inferiore ad un sesto del diametro.
Per poterla usare con dimensioni in centimetri o in millimetri è stata modificata come segue:

(1 bis)   L =  R2 N2
  Km ( 9 R + 10 l)  
   dove    Km = 2.54 per dimensioni in cm e 25.4 per dimensioni in mm

L'induttanza di una singola spira può essere calcolata, se il suo diametro è almeno dieci volte superiore al diametro del conduttore, con la seguente espressione semplificata:

(2)   L =  µ0 R ln1.0827 R
       r        

Esiste in effetti un metodo più aderente alla realtà, che consente di evitare i limiti imposti dalla (1); sfortunatamente esso è tuttavia abbastanza complesso e richiede l'uso di costanti, calcolate a suo tempo da H.Nagaoka e da E.B.Rosa (Rosa, Grover 1916, p. 119 e 122).

 K =  rapporto D
 l 
da 0.01 a 100
 A =  rapporto d
 p 
da 0.005 a 1
 B =  numero di spire da 1 a 1000

La difficoltà di questo metodo risiede nel fatto di dovere ogni volta estrarre dalle relative curve i dati delle costanti; si possono tuttavia ottenere risultati ancora abbastanza precisi calcolando le suddette costanti mediante i seguenti polinomi approssimanti:

K = 1 − .419 X + .126 X2 − .0171 X3   dove    X =  D
 l 
  valida per  D
 l 
 da .01 a 2 

K = .9145 − .271 X + .04536 X2 − .00299 X3    dove    X =  D
 l 
  valida per  D
 l 
 da 2 a 5 

K = .534 −.05347 X +.0023876 X2 −.000041287 X3 + 2.226 10−7 X4   dove    X =  D
 l 
  valida per  D
 l 
 da 5 a 100 

A = ln(1.7d
 p 
)  valida per  d
 p 
 = .005¸1 

B =  (ln N).75
     6.5     
  valida per  N = 1¸5 

B = .336 (1  −  2.5
 N 
 +  3.8
 N2 
)  valida per  N = 5¸1000 

Il procedimento parte dal calcolo di una bobina ideale, di grande lunghezza, costruita con un nastro di spessore infinitesimo le cui spire sono separate da uno spazio infinitesimo, così da assumere l'aspetto di un tubo. In questo caso si applica l'espressione generale:

(3)   Lo =  µ0 N2 π R2
          l          

Essendo la bobina in pratica di lunghezza limitata nei confronti del suo diametro, si dovrà correggere il valore dell'induttanza con la costante K sopra richiamata; si avrà perciò:

(4)   Lc = Lo K

Dobbiamo ora apportare un'altra correzione per tener conto del fatto che la bobina è costruita con filo a sezione circolare, magari con spire spaziate, anziché con nastro sottilissimo a spire accostate, come ipotizzato finora; si utilizzano allo scopo le costanti A e B di cui sopra, inserite nella espressione che segue:

(5)   L = Lc − µ0 R N (A + B)

L'espressione risolutiva, sviluppando, appare pertanto la seguente:

(6)   L = µ0 R N [π R N K
       l       
 − (A + B)]

Il procedimento fornisce risultati abbastanza buoni anche nel caso di una sola spira, ponendo l = diametro del conduttore, A e B = 0; comunque, in questo caso, è preferibile usare la (2). Per una maggior precisione, la lunghezza della bobina deve essere calcolata: l = (N − 0.5) p, il diametro della bobina deve essere misurato sull'asse del conduttore.
Ricapitolando, conviene usare la (1) tutte le volte che le dimensioni della bobina lo consentono e ricorrere alla (6) solo quando queste dimensioni escono dal limite che abbiamo visto.
Esistono altri tipi di bobine, usate nella radiotecnica, tra le quali la bobina a spirale piatta e la bobina toroidale. Per la spirale piatta si può ricorrere ancora ad una espressione proposta da H.A.Wheeler (Wheeler 1928, p. 1400), che presenta più o meno i limiti accennati per la (1), modificata per accettare dimensioni diverse dal pollice:

(7)   L =  R2 N2
  Km ( 8 R + 11 l)  
   dove    Km = 2.54 per dimensioni in cm e 25.4 per dimensioni in mm

oppure, per evitare limiti, alla espressione proposta da Rayleigh e Niven (Rayleigh 1881, p. 108; Rosa, Grover 1916, p. 116-117), se usata per conduttori a sezione circolare come segue:

(8)   Lo = µ0 R N2[ln8 R
   l   
 − 0.5 + l2
96 R2
(ln8 R
   l   
  +  43
12
)]

In ambedue le espressioni     R = raggio medio della spirale     l = estens. radiale dell'avv. = (N − 0.5) p

La (8), può essere ulteriormente semplificata, senza perdere molto in esattezza, come segue:

(9)   Lo = µ0 R N2(ln8 R
   l   
 − 0.5)

Infine, per le bobine toroidali si può partire dalla espressione generale:

(10)   Lo = µ0 N2(RT − RT2 − R2)   dove RT = raggio medio del toroide

Tutti questi calcoli forniscono l'induttanza di una bobina ma non tengono conto della capacità propria della medesima. Tale capacità non è facilmente determinabile in quanto dipende da una quantità di fattori quali le dimensioni della bobina, il rapporto tra il passo di avvolgimento ed il diametro del conduttore, il tipo di isolamento, i materiali di supporto della bobina ecc. ecc.: un'espressione per il calcolo di tale capacità è quella proposta da A.J.Palermo (Palermo 1934)

π D
(11)   Cp =  
   3.6 cosh-1( p
d
)

Tale espressione, per maggior chiarezza, si può riscrivere così:

e0 π2 D
(12)   Cp =  
   cosh-1( p
d
)

In questa forma appare evidente che il calcolo Ŕ riferito ad una bobina realizzata con filo nudo senza supporto; il risultato, in molti casi, appare piuttosto lontano dalla realtÓ. Una migliore approssimazione pu˛ essere ottenuta modificando l'espressione suddetta come di seguito:

e0 π2 D Ki ln(p
d
).34
(13)   Cp =  
   cosh-1( p
d
)

dove Ki è una costante che può assumere valori compresi tra 1 e 1.6, passando da una bobina con filo nudo, avvolta in aria, con un minimo di sottili stecche di supporto, ad una bobina con filo isolato in vinile, a spire accostate, avvolta su cilindro.

Valori orientativi di Ki
Tipo di avvolgimento Spire accostate Spire distanziate
Filo nudo in aria - 1
Filo nudo su tubo - 1.05
Filo smalto in aria 1.1 1
Filo smalto su tubo 1.2 1.1
Filo cop. tessile su tubo 1.4 1.2
Filo cop. vinile su tubo 1.6 1.3


Questa espressione è applicabile anche a bobine a spirale piatta, purché il diametro venga preso sulla spira media; per le bobine toroidali si può ottenere una discreta approssimazione, prendendo il passo p = pe pi, moltiplicando il valore trovato per 1.75 ed aggiungendo la capacità risultante dalla (12) dove si è posto p = 2 p.
Occorre comunque precisare che, dato l'uso del cosh-1, la capacità diviene infinita se il rapporto p/d risulta uguale a 1, dato che in tal caso le spire risulterebbero in contatto tra loro; occorre pertanto, nel caso di spire accostate, calcolare esattamente il passo, tenendo conto del rivestimento del filo, anche se trattasi di smalto, e prendere per d il diametro del conduttore nudo. Nel caso di una induttanza formata da una sola spira, la capacità si può calcolare con la seguente espressione:

(14)   Cp =  1.11 D π
      q'      
   dove   q' = 4 π ln(π2 D
  2 d  
)

In ogni caso, ove si desideri un risultato preciso, non rimane che la misura diretta di tale capacità, da effettuarsi con l'aiuto di un buon Grid-Dip oppure mediante un generatore RF ed un oscilloscopio. Ricordiamo la procedura che è molto semplice; dopo aver rilevato la frequenza di risonanza naturale, si pone in parallelo alla bobina una piccola capacità Cn di valore noto e si prende nota della nuova frequenza di risonanza. Detta f1 la prima e f2 la seconda, la capacità propria della bobina risulta:

(15)   Cp =  Cn
    q'    
   dove   q' = (f1
 f2 
)2 −1

Unica precauzione quella di accoppiarsi in maniera estremamente lasca alla bobina in prova; nel caso si proceda con generatore ed oscilloscopio è consigliabile mandare il segnale del generatore su una spira di grandi dimensioni, da tenere ad una certa distanza dalla bobina, e di prelevare il segnale per l'oscilloscopio con la sonda connessa ad una spira di sottile filo isolato, applicata sulla mezzeria dell'avvolgimento. Nel caso di filo nudo, si potrà connettere la sonda direttamente a cavallo di un tratto di spira, sempre in posizione mediana. La bobina dovrà trovarsi in ogni caso lontano da masse metalliche e sorretta in mezzeria da un supporto isolante adeguato.

Un'altra caratteristica molto importante di una bobina è la sua resistenza apparente a radio frequenza, che si potrà determinare con sufficiente approssimazione come segue:

si calcola o si misura dapprima la resistenza del conduttore in c.c:

(16)   Rcc =  rs l
  π (rc2

si calcola l'effetto pelle per il quale si ha:

(17)   Raf =  rs f 
 5.033 π d
   dove   l = π D N    lunghezza del filo usato per l'avvolgimento

L'effetto di prossimità, come proposto da R.Mesny, verrà considerato solo se il rapporto tra il passo di avvolgimento ed il diametro del filo è inferiore a 9; in questo caso si ha:

(18)   Kp = ( 1 + 0.95 d
   p    
)2 − 0.22    dove   Kp = fattore di correzione

(19)   Re = Raf  [ 1 + (Kp − 1) 1 − Rcc
   Raf    
]   dove   Re = resistenza effettiva del conduttore

Se il rapporto tra passo e diametro del filo è uguale o superiore a 9 si considera Re = Raf.
Se la bobina è di dimensioni rilevanti occorre considerare anche la sua resistenza di radiazione che si potrà calcolare come segue:

(20)   Rrad =  N2 D4 f4
  42 1012  
 + 73
q'
   dove   q' = (15000
    f l    
)2

in cui la parte dell'espressione che segue il segno + si riferisce alla radiazione assiale della bobina.

Occorre ora calcolare la resistenza apparente derivante dalle perdite dielettriche nelle parti isolanti della bobina, per effetto della capacità propria; in questo caso ci si può limitare ad una stima approssimativa, essendo molto complesso valutare esattamente l'andamento del campo elettrico. Si possono impostare due tabelle analoghe a quella vista prima per la capacità propria, le quali forniscano i valori per due costanti Kr1 e Kr2 da utilizzare nel calcolo:

Valore di Kr1
Tipo di avvolgimento Spire accostate Spire distanziate Spire molto distanziate
Filo nudo - -00001 .00001
Filo smaltato .008 .0025 .00001
Filo coperto in tessile .0013 .0004 .00001
Filo coperto in vinile .0016 .0005 .00001




Valore di Kr2
Tipo di avvolgimento Spire accostate Spire distanziate Spire molto distanziate
Senza supporto .00001 .00001 .00001
Stecche in PVC .0009 .0013 .0018
Tubo in PVC .0008 .0012 .0016
Tubo in ceramica .00038 .0005 .00076
Tubo in bakelite .0017 .0025 .0034


Si calcola la resistenza apparente introdotta dalle perdite nel dielettrico con le seguenti espressioni:

(21)   Rp =  106
2 π f Cp (Kr1 + Kr2)

(22)   Rde =  Rp
   1 + q'    
   dove   q' = (Rp
 2 π f L 
)2

La resistenza apparente totale sarà pertanto Req = Re + Rrad + Rde

il fattore Q di una bobina risulta:

(23)   Q =  2 π f L
   Req    

La capacità propria di una bobina e la sua resistenza sono caratteristiche negative, come vedremo più avanti; pertanto è bene cercare di ridurle quanto pi¨ possibile, spaziando le spire e riducendo al minimo gli isolanti di supporto.
Conoscendo la frequenza di risonanza naturale, si potrà calcolare l'induttanza apparente della bobina alla frequenza di lavoro, che, se questa risulta inferiore all'ottanta per cento della frequenza di risonanza naturale, viene data con sufficiente approssimazione dalla seguente espressione semplificata (Terman 1951, p. 52):

(24)   La =  L
  1 − kn2   
   dove   kn = freq. di lavoro / freq. di rison. naturale

Si ricorda che anche la resistenza propria Re della bobina subisce un aumento apparente per la presenza della capacità parassita della bobina. La resistenza apparente, nelle condizioni richiamate sopra, è data da:

(25)   Ra =  Rp
(1 − kn2)2 
   dove   kn = freq. di lavoro / freq. di rison. naturale

Naturalmente, se in parallelo alla bobina viene posto un condensatore C, la frequenza di risonanza naturale nella (24) e nella (25), sarà quella determinata dalla capacità totale Cp + C.

PARTE TERZA - CALCOLO DELLE LINEE BIFILARI E COASSIALI

Facciamo ora alcune considerazioni sulle linee di trasmissione, coassiali e bifilari, in relazione particolarmente alle capacità ed alle induttanze connesse con le medesime.
Come nella parte precedente, le misure sono tutte in centimetri, le capacità in pF e le induttanze in µH. Ecco l'elenco dei principali simboli adottati:

π = 3.1415927
C = capacità in pF
L = induttanza in µH
Z0 = impedenza caratteristica
e0 = costante dielettrica assoluta 8.854 10-2 pF/cm
er = costante dielettrica relativa (polietilene = 2.3, carta = 3.5, resina = 4¸5, porcellana = 4¸7, bakelite = 5.5, mica = 6.5)
µ0 = permeabilità assoluta 4 π 10-3 µH/cm
s = distanza tra i centri dei cilindri paralleli (fili)
d = diametro del cilindro (filo)
r = raggio del cilindro (filo)
re = raggio interno del cilindro esterno
ri = raggio esterno del cilindro interno
l = lunghezza
h = altezza del centro di un cil. rispetto ad un piano conduttore
cosh-1 = area del coseno iperbolico, cosh-1 (x) = ln (x ▒ (x2 - 1) )

Come è noto, un parametro importantissimo delle linee è la loro impedenza caratteristica: per le linee coassiali viene data correntemente la seguente espressione:

(1)   Z0 =  (138 log re
 ri 
) 1
er   
 = (60 ln re
 ri 
) 1
er   

e per le linee bifilari

(2)   Z0 =  (276 log s
 r 
) 1
er   
 = (120 ln s
 r 
) 1
er   

L'espressione (2) si dimostra inesatta quando la distanza tra i conduttori è molto piccola in rapporto al loro raggio, infatti ponendo s / r = 2, il che significa che i conduttori sono a contatto, si ottiene Z0 = 83 / er, mentre si dovrebbe avere Z0 = 0. Alcuni autori (Jasik 1961, p. 30-3), per ovviare a tale anomalia, adottano la seguente espressione:

(3)   Z0 =  (120 cosh-1 s
 d 
) 1
er   

Tale espressione, che per rapporti s / d relativamente grandi, coincide con la precedente, tende a zero per s / d = 1, cioè per conduttori in contatto tra loro e pertanto pare più aderente alla realtà. In seguito, per quanto riguarda le linee bifilari, si terrà conto solo di linee in aria e pertanto il termine / er verrà omesso.
Vediamo ora di analizzare le espressioni che servono a calcolare la capacità e l'induttanza proprie delle linee, cominciando con la capacità. Si tratta in questo caso del condensatore formato da due cilindri (fili) concentrici (cavo coassiale) e del condensatore formato da due cilindri o fili paralleli (linea bifilare).
In questi casi, a differenza della sfera che è il solido simmetrico per eccellenza, i cilindri (fili) possono avere un diverso rapporto tra lunghezza e diametro, ed in ogni caso il campo elettrico alle loro estremità avrà una conformazione diversa rispetto alla zona intermedia. Per questo fatto, le espressioni che vengono date si riferiscono al caso di cilindri (fili) aventi lunghezze molto superiori alla dimensione trasversale del sistema, in modo che la parte terminale, dove il campo è diverso, rappresenti una parte piccolissima del tutto e quindi provochi un errore trascurabile.
In tutti questi casi il calcolo della capacità, data la particolare conformazione del campo elettrico, richiede l'uso dei logaritmi; inoltre occorre notare che in tali condensatori, oltre alla capacità, è presente anche un'induttanza che è necessario calcolare se si vuole determinarne l'esatto comportamento in un circuito ad alta frequenza. Ecco dunque le espressioni che vengono normalmente date per il calcolo della capacità nei casi suddetti:

linee coassiali:

(4)   C =  2 π e0 er l
 ln(r') 
   dove   r' = re
 ri 

linee bifilari:

(5)   C =  π e0 l
 ln(r') 
   dove   r' = s
 r 

Quando la distanza tra i cilindri (fili) paralleli tende a divenire dello stesso ordine della loro lunghezza, e precisamente quando s > 0.733 l, occorre modificare l' espressione come segue:

(6)   C =  π e0 l
 ln(r') 
   dove   r' = 0.733 l
     r     

Occorre talvolta calcolare la capacità di uno di tali cilindri (fili) verso un piano conduttore (suolo); l'espressione diviene la seguente:

(7)   C =  2 π e0 l
 ln(r') 
   dove   r' = 2 h
  r  

Anche in questo caso, se la distanza dal piano conduttore diviene dello stesso ordine della lunghezza del cilindro (filo), ossia 2 h > 0.733 l, si dovrà modificare l'espressione come sopra:

(8)   C =  2 π e0 l
 ln(r') 
   dove   r' = 0.733 l
     r     

Questa espressione, non essendo più legata alla distanza, esprime in effetti la capacità di un cilindro (filo) isolato nello spazio.
Notiamo che la (6) e la (8) vengono proposte da alcuni autori in forma leggermente diversa; infatti al posto di ln(0.733 l / r) viene dato ln(π l / 4 r). Il risultato comunque non è molto diverso, a meno che il rapporto l / r non sia molto piccolo.
La (5) e la (7) sono valide solo se la distanza, o l'altezza dal piano conduttore, sono molto maggiori del raggio del cilindro (filo); per ottenere un risultato valido in generale, anche nel caso di distanza o altezza molto piccole, occorre modificare le espressioni come segue:

cilindri (fili) paralleli:

(9)   C =  π e0 l
 cosh-1(q')
   dove   q' = s
 d 

cilindro (filo) verso piano conduttore (suolo):

(10)   C =  2 π e0 l
 cosh-1(q') 
   dove   q' = 2 h
  d  

La necessità di questa modifica, come vedremo più avanti, deriva da quanto detto a proposito della (2) e della (3).

Ed ora, in analogia a quanto abbiamo detto per i condensatori, diamo uno sguardo all'induttanza di due cilindri o fili coassiali, di due cilindri o fili paralleli e di un cilindro o filo isolato. Vale anche in questo caso quanto abbiamo detto per le capacità, cioè che le condizioni terminali differiscono da quelle intermedie, per cui le espressioni si riferiscono a cilindri (fili) di lunghezza molto maggiore delle dimensioni trasversali; avremo pertanto:

cilindri (fili) coassiali:

(11)   L =  (µ0 l lnre
 ri 
)1
 2 π  

cilindri (fili) paralleli:

(12)   L =  (µ0 l lns
 r 
)1
  π  

cilindro (filo) isolato:

(13)   L =  (µ0 l ln0.736 l
     r     
)1
 2 π  

Anche in questo caso, per avere un risultato valido per qualunque distanza tra i cilindri (fili) paralleli, la (12) andrà modificata come segue:

(14)   L =  (µ0 l cosh-1s
 d 
)1
  π  

La necessità di adoperare il cosh-1 nelle espressioni per la capacità e l'induttanza, è legata, come abbiamo già accennato, al fatto di adottare la (3) anziché la (2) per il calcolo dell'impedenza caratteristica della linea bifilare. Infatti, come è noto, l'impedenza caratteristica di una linea di trasmissione, supposta praticamente priva di perdite, è data anche da (L / C), dove L e C rappresentano l'induttanza e la capacità per unità di lunghezza. Sviluppando si ha dalla (9) e dalla (14)

(15)   Z0 =   [µ0(cosh-1s
 d 
)2  ]1
π2 e0

               =  [ (µ0
 e0 
) 1
π
] (cosh-1s
 d 
)

              ma    [ (µ0
 e0 
) 1
π
]  = 120    per cui     Z0  =  120 cosh-1 s
 d 

Come abbiamo già accennato in precedenza, il termine er è stato omesso nel calcolo della capacità e quindi viene a mancare il termine er nell'espressione della Z0.
A sostegno di quanto esposto, abbiamo l'espressione dovuta a A.J. Palermo, che adopera appunto il cosh-1 per trovare la capacità tra due fili paralleli, nel caso specifico due spire adiacenti di una bobina.


REFERENZE

Jasik, Henry, Editor, Antenna Engineering Handbook. New York: Mc Graw-Hill, 1961

Palermo, A. J., "Distributed Capacity of Single-Layer Coils" in Proceedings of the Institute of Radio Engineers, vol. 22, n. 7 (1934), pp. 897-905
<https://worldradiohistory.com/Archive-IRE/30s/IRE-1934-07.pdf>

Rayleigh, John William Strutt, "On the Determination of the Ohm in Absolute Measure" in Proceedings of the Royal Society of London, vol. 32 (1881), pp.104-141
<https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspl.1881.0015>

Rosa, Edward B., Grover, Frederick W., "Formulas and Tables for the Calculation of Mutual and Self-inductance" in Scientific Papers of the Bureau of Standards, 3. ed, n. 169 (1916)
<https://ia801308.us.archive.org/35/items/formulastablesfo813rosa/formulastablesfo813rosa.pdf>

Terman, Frederick E,, Sc.D, Radio Engineering. 3. ed. New York: Mc Graw-Hill, 1951

Terman, Frederick E., Sc.D, Radio Engineers Handbook. New York: Mc Graw-Hill, 1943
<https://electrooptical.net/static/oldsite/OldBooks/Terman-RadioEngineersHandbook_1943.pdf>

Wheeler, Harold A., "Simple Inductance Formulas for Radio Coils", in Proceedings of the Institute of Radio Engineers, vol. 16, n. 10 (1928), pp. 1398-1400
<https://worldradiohistory.com/Archive-IRE/20s/IRE-1928-10.pdf>